Hommage à John Forbes Nash

Né le 13 juin 1928, John Nash aurait bientôt fêté son 87e anniversaire si son chauffeur de taxi n'avait pas effectué une sortie de route le 23 mai 2015. Entré à Princeton à l'âge de 20 ans, il y a été invité à jouer au jeu de Go (une tradition à Princeton). Il a alors inventé une variante appelée Hex (http://fr.wikipedia.org/wiki/Hex). En réalité, ce jeu avait déjà été inventé pendant la guerre par Piet Hein mais Nash l'ignorait. C'est d'ailleurs sous le nom de hex que ce jeu a été commercialisé par la suite.

C'est dans son travail de thèse que Nash a élaboré la théorie de l'équilibre de Nash qui lui a valu son prix Nobel d'économie. Mais quelques années plus tard, on lui diagnostique une schizophrénie qui lui a valu une notoriété plus grande que ses travaux mathématiques. Ses problèmes de santé l'ont empêché de publier pendant une trantaine d'années. Selon ses propres dires, il aurait été sauvé de la schizophrénie par l'amour qui le liait à sa femme Alicia, décédée avec lui le 23 mai 2015.

Un film a donc été consacré à la vie de Nash: Un homme d'exception, avec Russel Crowe dans le rôle de Nash et Jennifer Connelly dans celui d'Alicia Nash. C'est avec justesse, aux deux époux, que Russel Crowe a rendu hommage, en disant d'eux qu'ils étaient tous deux des êtres d'exception.

Le décès de Nash est particulièrement dramatique en 2015 à moins de 200 jours de COP21: la théorie qui a valu à John Nash son prix Nobel montre que la solution qui est optimale pour un groupe ("équilibre de Nash") ne peut pas forcément être atteinte par le seul égoïsme de chaque partie, du moins s'il manque à chaque partie des informations sur les autres parties.

Le jeu dit "dilemme de prisonnier" illustre cela: dans ce jeu, deux prisonniers sont interrogés séparément par le juge d'instruction, sans que chacun puisse savoir ce qu'a dit l'autre. On leur annonce que

- s'ils avouent tous les deux, ils seront condamnés à 3 ans de prison chacun;
- si aucun d'eux n'avoue, ils seront condamnés chacun à 2 ans (pour port d'arme: ils sont suspectés d'avoir commis un hold-up);
- si un seul avoue et que l'autre le dénonce, il fera 5 ans de prison et son accusateur sera libéré tout de suite. (voir ici: http://als.univ-lorraine.fr/files/conferences/Colloques/Mathematiques%2818-11-10%29/Delahaye.pdf)

On voit donc que la solution la plus intéressante pour le groupe de suspects est de nier chacun. Mais chacun, pensant que l'autre a pu, par égoïsme, le trahir, a intérêt individuellement, par représailles anticipées, de le dénoncer à son tour. Dans ce jeu, l'optimum (équilibre de Nash) ne peut être donc atteint que par altruisme, l'égoïsme étant au contraire un obstacle à l'équilibre de Nash.

Un exemple de la vie réelle: depuis le 11 septembre 2001, on prévoit qu'il n'y aura plus de détournement d'avion sans carnage, parce que maintenant les passagers savent que les pirates de l'air sont capables de tuer tout le monde et qu'ils n'ont d'autres choix que de massacrer les pirates...

Un autre exemple est celui des négociations sur le climat: Pour que de telles négociations aboutissent, il est nécessaire que

*toute l'information accessible à chaque pays participant, le soit à tous les pays.
*tous les pays participants, sans exceptions, "jouent le jeu".

Or lors de la conférence de Copenhague en 2009, les Etats-Unis ont conditionné leurs efforts de réduction du CO2 à ceux des pays du Sud, lesquels ont fait remarquer que, étant encore en voie de développement, ils avaient du retard sur les Etats-Unis en matière d'émission de CO2; on est là face à un cas typique de non atteinte de l'équilibre de Nash par manque d'information et d'altruisme entre pays. L'équilibre de Nash, ici, c'est la réduction globale d'émission de CO2 et donc la fin du réchauffement climatique. Pour les mêmes raisons qu'en 2009, il est à craindre que 2015 aussi soit un échec. Au moins, Nash ne sera pas là pour voir ça...